Introducción

¿Qué es una intersección?

Para comenzar, podemos entender a una intersección como un lugar en donde una o más figuras comparten un punto $\left (x , y \right )$ en común, dependiendo de la naturaleza de las figuras en cuestión, pueden haber 1 o más intersecciones, o también puede no haber ninguna.

Se pueden intersectar todo tipo de figuras como: rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolasy cualquier otro tipo de funciones, ya que este material está destinado a alumnos del CPA, utilizaremos las figuras anteriormente citadas para explicaciones y ejemplos. De todas formas, puedes aplicar estos conceptos para encontrar intersecciones con otros tipos de funciones.

¿Cómo hacerlo?

Recordando la definición anterior, "podemos entender a una intersección como un lugar en donde una o más figuras comparten un punto $\left (x , y \right )$ en común".

Sea una figura cualquiera, por ejemplo, la recta $3x - y + 7 = 0$ , si reemplazamos los valores de las variables por un punto $\left (x , y \right )$ y este punto satisface la igualdad, podemos afirmar que este punto pertenece a la figura, por ejemplo:

El punto $(0,7)$ pertenece a la recta $3x - y + 7 = 0$ , porque $3(0) -(7) + 7 = 0$ .

Ahora, teniendo las figuras, buscamos la intersección entre ellas resolviendo el sistema de ecuaciones formado con las ecuaciones de las figuras en cuestión, ya que necesitamos encontrar un valor de $x$ e $y$ que puedan satisfacer a todas las ecuaciones a la vez.

Ejemplos y consejos

En este apartado se mostrarán ejemplos y explicaciones sobre los mismos, iniciaremos con figuras básicas y posteriormente avanzaremos con figuras más difíciles.

Cabe resaltar que se requieren conocimientos de la materia de álgebra especialmente en factorización y métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, en los ejemplos serán citados los métodos más convenientes para resolver los sistemas de ecuaciones entre las determinadas figuras.

Intersección entre rectas

En este caso, las rectas tienen solo un punto en común, ya que estas no son curvas, dos rectas nunca se intersectan si y solo si estas son paralelas.

Ejemplo: Sean las rectas $3x - y + 8 = 0 ;3 x - 2y = -4$ , Hallar la intersección entre ellas.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{matrix} & 3x - y + 8 = 0 & \\ & 3x - 2y = -4 & \end{matrix}\right.

Puedes resolver el sistema de ecuaciones como tu prefieras, lo más recomendable seria dejar las rectas en la forma $y = mx + b$ , y resolver el sistema de ecuaciones por el método de igualación. En este caso el resultado es $(-4. -4)$ .

Intersección entre una recta y una curva cualquiera

Si se nos presenta la intersección entre una recta y una curva, sea una parábola, circunferencia, elipse o hipérbola. El método más conveniente a utilizar, sería el método de sustitución, aprovecharemos que tenemos una ecuación lineal (la recta), en una ecuación lineal, es mas fácil despejar cualquiera de las variables, entonces despejamos una de las variables en la recta y podemos realizar el método de sustitución, en todo caso, si tenemos funciones más sencillas, podemos utilizar otros métodos, por ejemplo.

Hallar la intersección entre: $y = 2x ; y = x^{2}$

\left\{\begin{matrix} & y = 2x& \\ & y = x^{2}& \end{matrix}\right.

Igualamos, y=y\\ x^{2} = 2x \\ x^{2} - 2x = 0\\ x(x-2)= 0\\ x=0 , x-2 = 0\\ \\\boxed{x_{1} = 0} \\\boxed{x_{2} = 2}

Pequeño truco para intersecciones entre rectas y circunferencias

No siempre los ejercicios serán tan sencillos como el anterior, especialmente en un exámen, suele ser conveniente realizar el método de sustitución, como en el siguiente caso

Intersección entre : $x - 2y + 5 = 0; (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} =25$

\left\{\begin{matrix} & x = 2y - 5 & \\ & (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = &25 \end{matrix}\right.

Tenemos despejada la x de la recta(ya que si despejamos la y nos queda una division) y la forma $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ , muchos desarrollarian la ecuación de la circunferencia dejándola como:

$x^{2} + y^{2} -10x - 10y +25 = 0$ , despejarían la $y$ , luego reemplazarían la $y$ por $\frac{x-5}{2}$ , quedando lo siguiente:

x^{2} + (\frac{x-5}{2})^{2} -10x - 10(\frac{x-5}{2}) +25 = 0

Esto sería muy largo de resolver, a parte de que debes prestar atención a cada término, lo que da paso a posibles errores.

Existen casos donde, al reemplazar la recta despejada en la ecuación de la circunferencia sin desarrollar, osea, en la forma $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ , nos puede resultar una situación conveniente. Por ejemplo, si reemplazamos con $x = 2y - 5$ , queda:

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25 \\ (2y - 5 - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25 \\ (2y - 10)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

Sacamos factor común 2:

(2(y - 5))^{2} + (y - 5)^{2} = 25

Sacamos factor común $(y - 5)^{2}$ :

(y - 5)^{2}(2^{2} + 1) = 25 \\ (y - 5)^{2}(5) = 25 \\ (y - 5)^{2} = \frac{25}{5}

Finalmente nos queda:

(y - 5)^{2} = 5

Esta ecuación es mucho más amigable de resolver que la otra ecuación. El punto es que, existe más de un camino para resolver problemas, y tú debes abrirte a buscar soluciones más rápidas, como por ejemplo el caso anterior, antes de desarrollar las ecuaciones y reemplazar, debes ver si no resulta más simple reemplazar directamente en la ecuación canónica de la circunferencia.

Intersección entre curvas

Las intersecciones entre curvas son un tema un poco más complicado, debido a que tenemos un sistema de ecuaciones con más términos cuadráticos( $x^{2}$ o $y^{2}$ ), en estos casos debemos siempre buscar aprovecharnos de las ecuaciones donde tengamos alguna de estas variables solamente de manera lineal( que sea lineal quiere decir que tengan exponente 1, osea, que no estan al cuadrado). Analizaremos primero estos casos y luego saltaremos a situaciones más complicadas.

Intersección entre circulos y parábolas

Comenzaremos con un ejemplo sencillo:

\left\{\begin{matrix} &2y= x^{2} & \\ & x^{2} + y^{2} = 8 & \end{matrix}\right.

De la primera ecuación, despejamos $\rightarrow y = \frac{x^{2}}{2}$

Sustituimos :

x^{2} + (\frac{x^{2}}{2})^{2} = 8

Nos queda :

x^{2} + \frac{x^{4}}{4} = 8

Si seguimos desarrollando algebraicamente, dejando sin divisiones e igualando a 0 nos queda:

x^{4} + 4x^{2} -32 = 0

Para resolver esta ecuación podemos decir que : ${\color{Blue} w} = x^{2}$ , de esta manera nos queda lo siguiente.

{\color{Blue} w^{2}} + 4{\color{Blue} w} - 32 = 0

De aqui tenemos que :

{\color{Blue} w_1} = 4 ; {\color{Blue} w_2} = -8

Reemplazamos ${\color{Blue} w}$ por $x^{2}$ , nos queda:

x_1^{2} = 4 ; x_2^{2} =-8

Rechazamos $x_2^{2} =-8$ , ya que no existe nignun numero real que elevado al cuadrado nos de como resultado un numero negativo.

Finalmente nos queda que $x^{2} = 4$

Concluimos que :

\\\boxed{x_{1} = 2 } \\\boxed{x_{2} = -2}

Si seguimos desarrollando el ejercicio, tendremos que las respuestas son: $P_1(2;2)P_2(-2;2)$

Seguimos con un ejemplo un tanto mas complejo, tenemos las siguientes figuras:

\left\{\begin{matrix} &(x-6)^{2} + (y-4)^{2} & = 16 \\ & (x - 2) = 4(y-4)^{2}& \end{matrix}\right.

Observamos que en la ecuación $(x - 2) = 4(y-4)^{2}$ podemos despejar sin problemas la variable $x$ , ya que tiene exponente 1 y es la unica $x$ en toda la ecuación.

Sabiendo esto, podemos proceder a resolver el sistema por elmétodo de sustitución**:**

\\ (x-6)^{2}+(y-4)^{2}=16\\ ((4(y-4)^{2} +2)-6)^{2}+( y^{2}-4)^{2}=16\\ ((4(y-4)^{2} -4)^{2}+( y^{2}-4)^{2}=16\\

Sacamos factor común 4:

(4)^{2}((y-4)^{2} -1)^{2}+( y^{2}-4)^{2}=16

Vemos que se nos repite el término $(y-4)^{2}$ , entonces podemos decir que $(y-4)^{2} = {\color{Red} \alpha }$

De esta manera nos queda:

16({\color{Red} \alpha }-1)^{2} + {\color{Red} \alpha } = 16

Desarrollando esto algebraicamente nos queda al final:

\\ 16{\color{Red} \alpha ^{2}}-31{\color{Red} \alpha} = 0\\ {\color{Red} \alpha }(16{\color{Red} \alpha} - 31)= 0\\ {\color{Red} \alpha_1}= 0; {\color{Red} \alpha_2 } = \frac{31}{16}\\

Reemplazamos nuevamente ${\color{Red} \alpha } = (y -4)^{2}$ ,con esto concluimos que:

Para $(y -4)^{2}= 0$

\\\boxed{y_{1} = 4 }

Para $(y-4)^{2} = \frac{31}{16}$ , aplicamos raiz cuadrada en cada miembro, quedando asi:

\\ y-4=\pm \frac{\sqrt{31}}{4}\\ y=4\pm \frac{\sqrt{31}}{4}\\ \\\boxed{y_1 = 4 +\frac{\sqrt{31}}{4}\approx 5.392}\\ \\\boxed{y_2 = 4- \frac{\sqrt{31}}{4}\approx 2.608}

Si seguimos desarrollando tendremos 3 intersecciones cuyos valores aproximados son:

P_1(2;4),P_2(9.75,5.39),P_3(9.75,2.60)

Intersección entre circunferencias

Explicaremos los pasos para resolver esta clase de situaciones con el siguiente ejemplo, tenemos las siguientes circunferencias

\left\{\begin{matrix} & (x+3)^{2} +(y-2)^{2}& = 8\\ & x^{2} +y^{2} =1& \end{matrix}\right.

Para esta clase de situación debemos expresar las circunferencias en forma de la ecuación general, es decir:

(x+3)^{2}\ +(y-2)^{2} =8 \rightarrow \boxed{x^{2} +y^{2} +6x-4y+ 5 =0}

Nos queda el siguiente sistema:

\left\{\begin{matrix} & x^{2} +y^{2} +6x-4y+ 5 & = 0\\ & x^{2} +y^{2} =1& \end{matrix}\right.

Observamos que tenemos dos ecuaciones cuadráticas, que hacemos ahora?, restaremos las ecuaciones, aprovechando que las variables al cuadrado tienen el mismo coeficiente(el número que acompaña a la variable), entonces , restando las ecuaciones podemos eliminar los términos cuadráticos.

\\ x^{2} +y^{2} +6x-4y+ 5 = 0\\ \underline{- (x^{2} +y^{2} -1)=0 }\\ 6x -4y +6=0

Luego obtenemos:

\\ \frac{6x -4y +6}{2}=\frac{0}{2}\\ \boxed{3x-2y+3=0}

Observamos que nos resutla una ecuación lineal, osea, una recta, pero, ¿por qué?,¿qué representa esta recta? Pues ,es de nuestro saber que un sistema de ecuaciones nos entrega algo en común entre las ecuaciones que utilizamos, en este caso, esta recta representa la cuerda común de las dos circunferencias, esta recta cruza sobre la intersección de las circunferencias, entonces basta con retroceder un poco en el documento y rememorar la parte de intersección entre una recta y una circunferencia. Podemos intersectar la recta con cualquiera de las dos circunferencias, obviamente elegiremos la que más nos convenga, en este caso $x^{2}+y^{2}=1$

Procedemos a despejar una de las variables y reemplazar:

\\ x =\frac{2y-3}{3}\\ (\frac{2y-3}{3})^{2}+y^{2}=1\\ \frac{1}{9}(2y-3)^{2} + y^{2}=1\\ (2y-3)^{2} +9y^{2} =9\\ 4y^{2}-12y+9+9y^{2}=9\\ 13y^{2}-12y=0\\ y(13y-12)=0\\ \boxed{y_1 = 0} \boxed{y_2=\frac{12}{13}}

Obtenemos estos valores para $y$ , si seguimos desarrollando el ejercicio, reemplazando $y_1$ ,e, $y_2$ en: $x =\frac{2y-3}{3}$ ,tenemos las siguientes respuestas: $P_1(-1;0)P_2(-\frac{5}{13};\frac{12}{13})$

Intersecciones entre circulos e hipérbolas

En estos casos tenemos el mismo proceso que el anterior, tomaremos de ejemplo las siguientes figuras

Nota: es importante graficar las figuras primero

\left\{\begin{matrix} (x+1)^{2} + y^{2} =16& \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4}= 1& \end{matrix}\right.

Vemos que tenemos solo $y^{2}$ , entonces podemos despejar una y reemplazarla en la otra ecuación

\\ y^{2}=16-(x-4)^{2}\\ \boxed{y^{2}= 8x-x^{2}}

Reemplazamos esto en la otra ecuación y nos resulta:

\frac{x^{2}}{9}-\frac{8x-x^{2}}{4} = 1\\ 4x^{2}-9(8x-x^{2})=36\\ 4x^{2}-72x+9x^{2}=36\\ 13x^{2}-72x-36=0\\ \boxed{x_1 = 6} \boxed{x_2 = -\frac{6}{13}}

Vemos que tenemos un resultado negativo, rechazaremos este resultado ya que si graficamos las figuras correctamente, veremos que no hay una intersección en algún valor negativo de $x$

Posteriormente reemplazamos este valor en $y^{2}= 8x-x^{2}$ :

\\ y^{2}= 8x-x^{2}\\ y^{2}= 8(6)-6^{2}\\ y^{2}=12\rightarrow y=\sqrt{12}\rightarrow y=\pm 2\sqrt{3}\\ \boxed{y_1 = 2\sqrt{3}}\boxed{y_2 = -2\sqrt{3}}

Queda como respuesta: $P_1(6;2\sqrt{3})P_2(6;-2\sqrt{3})$